Der Mathematiker Univ.-Prof. Dr. Arnold Neumaier beschäftigt sich mit Optimierungen, vereinfacht gesagt, der optimalen mathematischen Lösung von Problemen. In der Praxis gibt es viele Beispiele für globale Optimierungsprobleme. Ein wesentlicher Bereich für Mathematikanwendungen sind Sicherheitsstudien. In der Baustatik, beispielsweise, darf der ungünstigste Fall bestimmte Schwellenwerte nicht übersteigen oder unterschreiten. Die Versuchs-und-Irrtums-Methode in diesem Fall könnte fatale Folgen haben - besser man berechnet Grenzwerte im Vorhinein.
"Ziel unserer Berechnungen ist es, unter bestimmten Rahmenbedingungen, die die Lösungsmöglichkeiten beschränken, ein optimales Ziel zu erreichen", sagt Arnold Neumaier. In der Mathematik existieren drei Arten von Lösungen: Sie können "zulässig" sein, das heißt sie sind bei gegebenen Rahmenbedingungen machbar. Wenn es sich um "optimale Lösungen" handelt, sind diese auch durch kleine Korrekturen nicht mehr verbesserbar. Schließlich gibt es die überhaupt "beste Lösung", das ist das globale Optimum. "Wäre die Zielfunktion die Höhe im Gebirge, so ist ein Gipfel ein lokales Optimum und der höchste Gipfel das globale Optimum", vergleicht Arnold Neumaier, Leiter des Projekts, das im Rahmen des universitären Forschungsschwerpunktes "Rechnergestützte Wissenschaften" läuft. Die globale Optimierung steht im Forschungsprojekt im Mittelpunkt.
Funktionierende Roboter
Die Mathematik kommt unter anderem auch beim Design in der Robotik zum Einsatz. Alle festgelegten Positionen und Orientierungen von zum Beispiel einem Roboter-Greifarm müssen berechnet werden, damit es zu keinen unvorhergesehenen Kräftebündelungen kommt, so Prof. Neumaier. "In einem konkreten Fall, von dem uns unser Partner, Professor Merlet von INRIA, dem französischen Nationalinstitut für Informatik- und Automationsforschung, berichtete, hat ein Versäumnis von nicht durchgeführten Berechnungen einen Millionenschaden verursacht", veranschaulicht Arnold Neumaier die Bedeutung der mathematischen Lösungen.
Vom optimalen Züchten von Nutztieren bis zur Psychologie
Beispiele für Optimierungsprobleme, bei denen man die wahrscheinlichsten Erklärungen sucht, reichen vom optimalen Züchten von Nutztieren über Analysen des Wählerverhaltens bis hin zu psychologischen Studien. Dem Laien scheint es schleierhaft, wie man angesichts einer Vielzahl von beschränkenden Größen und einer noch größeren Zahl von unbekannten Variablen eine Lösung berechnet, die tatsächlich die optimale Lösung darstellt. Am ehesten könnte man sich vorstellen, nach Wahrscheinlichkeitsrechnungen vorzugehen. Mittels Wahrscheinlichkeitsrechnungen werden einzelne Szenarien ausprobiert. Sie sind tatsächlich der Prototyp für Optimierungsverfahren in der Datenanalyse.
Strukturen entdecken
Im Gegensatz zu solchen Wahrscheinlichkeitsrechnungen arbeiten Neumaier und seine Kollegen mit mathematisch präzisen Analysen, eine Technik ist zum Beispiel die konvexe Analyse. Diese Art der Analysen liefern entscheidende Werkzeuge, um Informationen über ganze Bereiche anstatt nur über einzelne Szenarien zu bekommen. "Die anderen suchen nach Zufälligkeiten, wir suchen nach Struktur", erklärt der Mathematiker.
Bei der Suche nach Strukturen geht es darum, zusätzliche Eigenschaften von scheinbar unlösbaren Problemen zu finden, also Strukturen aufzudecken, die auf den ersten Blick nicht erkennbar sind, und diese nutzbar zu machen. Der Begriff "Advanced Modeling" im Projekttitel bezieht sich auf dieses Aufdecken von Strukturen. Darunter fallen die Analyse des Graphen für den Berechnungsfluss, das Ordnen von Variablen in Gruppen, die untereinander stark und sonst weniger miteinander korreliert sind, das Nutzen von linearen Bedingungen, das systematische Verwenden von Ungleichungen und die Auswertung algebraischer Bedingungen mittels semidefiniter Verfahren.
Online-Laboratorium
Gefundene Strukturen zu verstehen und damit arbeiten zu können, ist schwierig. Bei diesen Schwierigkeiten Fortschritte zu machen, darauf konzentriert sich die Arbeit der Mathematiker im Rahmen des universitären Forschungsschwerpunktes. Unter anderem ist ein Softwarepaket in Entwicklung, das ein Online-Laboratorium für Globale Optimierung (namens GLOPTLAB) bieten wird.
Rechnergestützte Wissenschaften
Stichwort Software: Mit Bleistift, Papier und Radiergummi ist Optimierungsproblemen nicht beizukommen. Auch Hochleistungscomputer rechnen oft Monate lang an Problemstellungen zu globaler Optimierung. Und am Ende steht nicht immer ein Ergebnis, oft fehlen Informationen für Problemlösungen. Diese zu finden ist wiederum Frage einer verbesserten Modellierung.
"Das Interesse an der globalen Optimierung kommt nicht nur aus den Anwendungen, sondern ist auch innermathematisch motiviert", weiß Neumaier. 1995 zeigten Hess und Schlafli, dass doppelte Seifenblasen mathematisch gesehen die Lösung von Minimalflächen sind. Dieser Nachweis der Optimalität ist - anders als meist in der Mathematik, so Neumaier - stark computerunterstützt. Bei gegebenen Volumen haben doppelte Seifenblasen die kleinstmögliche Oberfläche, weil jene Seite, wo sie aufeinander stoßen, von beiden genutzt wird. Ungelöst ist noch das Problem der 13 Kugeln. "Man hat eine Kugel und möchte 13 gleich große Kugeln rundum ordnen, so dass alle diese eine Kugel berühren. Die Frage ist, welche die kleinste Kugel ist, mit der man das machen kann", beschreibt Arnold Neumaier sichtlich begeistert ein weiteres spannendes mathematisches Problem. (hh)
Das Forschungsprojekt "Advanced Modeling in Global Optimization" startete im Dezember 2006 und ist eines von insgesamt sechs Projekten des universitären Forschungsschwerpunktes "Rechnergestützte Wissenschaften". Unter der Leitung von Univ.-Prof. Dr. Arnold Neumaier forschen im Rahmen des Projektes noch Ao. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Hermann Schichl, Dr. Oleg Shcherbina und Mag. Ferenc Domes; alle an der Fakultät für Mathematik. Die Gruppe kooperiert mit dem französischen "Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique" (INRIA), sowie mit Univ.-Prof. Dr. Anton Formann, Vizedekan der Fakultät für Psychologie, zu Maximum-Likelihood-Schätzungen mit multiplen Lösungen. |
