Am Kurt Gödel Center für Mathematische Logik (Fakultät für Mathematik) herrscht gelegentlich eine fast feierliche Ruhe. Könnte man Menschen denken hören, wäre es hier jedoch sicher sehr laut. Im zweiten Stock des Josephinums stehen keine beeindruckenden Geräte, sondern die Mathematikerinnen und Mathematiker gehen mit Papier und Bleistift hochkomplizierten Fragestellungen aus der Modelltheorie und der Mengenlehre nach.
Eine davon ist die seit einigen Jahren habilitierte Dipl.-Math. Dr. Heike Mildenberger. Die gebürtige Deutsche teilt ihr Büro mit einem jungen Kollegen aus der Ukraine, der seine Kollegin freudig als einen der klügsten Köpfe der theoretischen Mathematik vorstellt. Im März startete ihr dreijähriges FWF-Projekt mit dem Titel "Kombinatorische Mengenlehre der reellen Zahlen".
Mengenlehre
"Mengenlehre ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik, das versucht, die Grundlagen zu klären, also beispielsweise welche Axiome und Beweisregeln allgemein akzeptierbar sind", erklärt Heike Mildenberger.
Die Mengenlehre wurde im 19. Jahrhundert vom deutschen Mathematiker Georg Cantor begründet, der Mengen unter anderem nach ihrer Mächtigkeit einteilte. Eine wichtige Weiterentwicklung erfuhr die Mengenlehre zwischen 1900 und 1930 durch die Wissenschafter Zermelo und Fraenkel. Diese kristallisierten das Axiomensystem der Mengenlehre heraus, das heute von fast 80 Prozent der Mathematikerinnen und Mathematiker akzeptiert ist.
Axiome, Beweisregeln
"Axiome sind diejenigen Regeln, die man ohne Beweise annehmen kann und die man auch gar nicht beweisen kann. Aus den Axiomen resultieren die Beweisketten", verdeutlicht Heike Mildenberger die Bedeutung der Axiome. Insgesamt gibt es grob gesprochen zehn Axiome im ZFC-System (Zermelo-Fraenkel-System, das C steht für Axiom of Choice, also Auswahlaxiom). Beweisketten können in mathematischen Fachartikeln schon mal 40 Seiten lang sein. "Ganz schlimm, wenn das dann irgendeine Lücke enthält", seufzt die Mathematikerin, aber tatsächlich liegt gerade darin die spannende Herausforderung ihrer Arbeit: "Jeder Schritt ist ein bisschen ein Glücksfall, man probiert aus, versucht es weiter, und mit Erfahrung und Ausdauer kommt schlussendlich etwas heraus."
Zusammenhänge in der Unendlichkeit
Die offenen Fragen, an denen Heike Mildenberger arbeitet, gehören zur unendlichen Kombinatorik. "Die Mengenlehre ist besonders gut für unendliche Mengen", sagt sie, "denn das Unendliche kann man nicht veranschaulichen. Daher braucht man Axiome, also die Regeln, wie die Wahrheit ist. Auch ist die Wahrheit nicht in jedem ZFC-Modell die gleiche. Bei endlichen Mengen ist das anders: Hier ergeben sich durch Strings und Zeichen kombinatorische Aussagen, die in jedem ZFC-Modell gelten."
Reelle Zahlen
Das Projekt konzentriert sich auf die Menge der reellen Zahlen, das sind alle Punkte der Zahlengeraden. Mildenberger veranschaulicht das mit einem nach rechts unendlich langen Gatterzaun: An jedem Zaunpfahl steht eine natürliche Zahl. Am linken Ende des Zauns geht es weiter ins Negative. Zwischen den Pfählen sind die rationalen Zahlen, die viel dichter liegen als die natürlichen Zahlen: Zwischen je zwei Brüchen gibt es einen weiteren Bruch. Wenn man dann noch die algebraischen Zahlen (wie zum Beispiel √2) dazu nimmt und jene Zahlen, die keinen algebraischen Namen haben, sind das insgesamt die reellen Zahlen, die nicht abzählbar sind.
Wahr oder falsch?
"Wie viele reelle Zahlen es gibt, ist aufgrund der Axiome nicht geklärt", sagt Heike Mildenberger, "aber wir haben ein klares Bild über die möglichen Mächtigkeiten." Ihr geht es nun um die kombinatorischen Eigenschaften dieser reellen Zahlen. Beispielsweise könnte sie die Aussage überprüfen, dass es "nur Aleph_1 viele reelle Zahlen" gibt. Das würde bedeuten, dass es gerade um eine Stufe mehr reelle Zahlen als natürliche gibt - eine Aussage, die wahr oder falsch sein kann.
Zusatzwünsche durch Forcing-Technik
Die Haupttechnik in diesem mathematischen Forschungsbereich ist Forcing. Diese garantiert, dass in den mit Forcing konstruierten Modellen automatisch alle Axiome wahr sind und man sich um diese in den Berechnungen nicht mehr weiter kümmern muss. "Es ist also eine Technik, Modelle zu bauen, in denen Axiome gelten, und dadurch kann man zusätzlich - sofern man es geschickt macht - Zusatzwünsche einbauen, die auch gelten", erklärt Heike Mildenberger. Ihre Zusatzwünsche sind eben jetzt noch offene kombinatorische Aussagen. Ein Idealfall wäre, dass sie zwei komplementäre Modelle bauen kann und dadurch ein Problem löst, indem sie zu dem Schluss kommt, dass die untersuchte Aussage unentscheidbar ist, so die Wissenschafterin. Damit wäre die mathematische Logik um eine Facette reicher. (hh)
Das Projekt "Kombinatorische Mengenlehre der reellen Zahlen" wird vom FWF gefördert und läuft seit 1. März 2008 für drei Jahre. Es wird von Dipl.-Math. Dr. Heike Mildenberger vom Gödel Research Center geleitet und durchgeführt.
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